Geom Alg - P1 - Pregunta 6

\( \newcommand{\sst}{\subset} \newcommand{\Rm}{\mathbb{R}^m} \newcommand{\Rn}{\mathbb{R}^n} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\P}{\mathbb{P}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\A}{\mathbb{A}} \newcommand{\epsi}{\varepsilon} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\ra}{\rightarrow} \DeclareMathOperator{\id}{id} \)

Sea \(Y\) una variedad afín de dimensión \(r\) en \(\A^n\). Sea \(H\) una hiperficie de \(\A^n\) tal que \(H\) no contiene a \(Y\). Probar que cada componente irreducible de \(Y\cap H\) tiene dimensión \(r-1\)

Solución: Primero veamos que dados dos puntos distintos \(p,q\in \A^n\), existe hiperficie que contiene a uno pero no al otro. Como \(p=(p_1,\dots,p_n)\neq (q_1,\dots,q_n)=q\), existe \(p_i\neq q_i\). Tomamos \(X=V(x_i-p_i) \), es claro que \(p\in X\) y \(q\notin X\).
Segundo, veamos que si \(Y\) no está incluido en \(H\) entonces \(\dim(Y\cap H)\leq r-1\). Si \(\dim(Y\cap H)=c\geq r\), entonces existiría una cadena de subvariedades \[X_0\subsetneq X_1\subsetneq \cdots \subsetneq X_c=Y\cap H \subsetneq Y\] Con lo que \(\dim Y\geq c+1>r\) y obtenemos una contradicción.
Ahora, prodecemos por inducción. Por lo anterior, si \(r=1\) entonces \(\dim(Y\cap H)=0\). Supongamos que el enunciado se cumple para toda variedad con dimensión menor o igual a\(r-1\) y sea \(Y\) con \(\dim Y=r\). Tenemos que \(\dim(Y\cap H)\leq r-1\) y por lo mencionado al inicio, existe \(H'\) hiperficie que no contiene a \(Y'=Y\cap H\). Ahora, si tomamos \(Y_1=Y\cap H\subsetneq Y\) y \(Y_1\) no tiene dimensión 0 entonces existe \(H_1\) tal que \(Y_2=Y_1\cap H_1\subsetneq Y_1\). Además por lo segundo, \(\dim(Y_2)\leq \dim(Y_1)-1\leq r-2\). Podemos repetir este proceso hasta que \(Y_k\) tenga dimensión \(0\).