Pregunta 10

$\newcommand{\sst}{\subset} \newcommand{\Rm}{\mathbb{R}^m} \newcommand{\Rn}{\mathbb{R}^n} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\diam}[1]{\text{diam}(#1)} \newcommand{\epsi}{\varepsilon} \newcommand{\N}{\mathbb{N}}$

Sea $K\sst \Rm$ compacto, $U\sst \Rn$ abierto y $f:K\rightarrow U$ continua. Demostrar que existe $\delta>0$ tal que la imagen $f(T)$ de cualquier $T\sst K$ con $\diam{T} < \delta$ está contenida en alguna bola $B\sst U$.


Solución:
Para cada $x\in K$ tenemos que $f(x)\in U$. Luego como $U$ es abierto, existe $\varepsilon_x>0$ tal que $B(f(x),\varepsilon_x)\subset U$. Por la continuidad de $f$, tenemos que para cada $x$ y cada $\varepsilon_x$, existe un $\delta_x$ tal que $$f(B(x,\delta_x)\cap K)\subset B(f(x),\varepsilon_x)$$ Ahora consideremos la familia $\{B(x,\delta_x)\; /\; x\in K \}$, esta es un cubrimiento abierto de $K$ y por consiguiente admite un número de Lebesgue respecto a dicha familia. Esto es, existe $l > 0$ tal que: $$\forall T\sst K \; \text{con}\; \diam{T} < l \quad\quad\exists x\in K \;/ \;T\subset B(x,\delta_x)$$ además tenemos $f(B(x,\delta_x))\subset B(f(x),\varepsilon_x)$, por lo que $f(T)\subset B(f(x),\varepsilon_x)$. Finalmente tenemos que existe $\delta=l>0$, tal que para todo $T\subset K$ con $\diam{T}<\delta$ existe un $x\in K$ tal que $T\sst B(x,\delta_x)\cap K$ y además $$f(T)\subset f(B(x,\delta_x)\cap K)\subset B(f(x),\varepsilon_x)$$ Q.E.D.