Pregunta 10

\( \newcommand{\sst}{\subset} \newcommand{\Rm}{\mathbb{R}^m} \newcommand{\Rn}{\mathbb{R}^n} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\diam}[1]{\text{diam}(#1)} \newcommand{\epsi}{\varepsilon} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \)

Sea \(K\sst \Rm\) compacto, \(U\sst \Rn\) abierto y \(f:K\rightarrow U\) continua. Demostrar que existe \(\delta>0\) tal que la imagen \(f(T)\) de cualquier \(T\sst K\) con \(\diam{T} < \delta\) está contenida en alguna bola \(B\sst U\).


Solución:
Para cada \(x\in K\) tenemos que \(f(x)\in U\). Luego como \(U\) es abierto, existe \(\varepsilon_x>0\) tal que \(B(f(x),\varepsilon_x)\subset U\). Por la continuidad de \(f\), tenemos que para cada \(x\) y cada \(\varepsilon_x\), existe un \(\delta_x\) tal que $$f(B(x,\delta_x)\cap K)\subset B(f(x),\varepsilon_x)$$ Ahora consideremos la familia \(\{B(x,\delta_x)\; /\; x\in K \}\), esta es un cubrimiento abierto de \(K\) y por consiguiente admite un número de Lebesgue respecto a dicha familia. Esto es, existe \(l > 0\) tal que: $$\forall T\sst K \; \text{con}\; \diam{T} < l \quad\quad\exists x\in K \;/ \;T\subset B(x,\delta_x)$$ además tenemos \(f(B(x,\delta_x))\subset B(f(x),\varepsilon_x)\), por lo que \(f(T)\subset B(f(x),\varepsilon_x)\). Finalmente tenemos que existe \(\delta=l>0\), tal que para todo \(T\subset K\) con \(\diam{T}<\delta\) existe un \(x\in K \) tal que \(T\sst B(x,\delta_x)\cap K\) y además $$f(T)\subset f(B(x,\delta_x)\cap K)\subset B(f(x),\varepsilon_x)$$ Q.E.D.