Geom Alg - P1 - Pregunta 2

$\newcommand{\sst}{\subset} \newcommand{\Rm}{\mathbb{R}^m} \newcommand{\Rn}{\mathbb{R}^n} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\P}{\mathbb{P}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\A}{\mathbb{A}} \newcommand{\epsi}{\varepsilon} \newcommand{\N}{\mathbb{N}}$

Sea $Y$ la curva plana $y=x^2$. Probar que $A(Y)$ es isomorfo al anillo de polinomios de una variable sobre el cuerpo $\K$.

Solución: Tenemos que $A(Y)=\K[x,y]/I(Y)$, donde $I(Y)=(y-x^2)$. Consideramos el siguiente morfismo de anillos, $$\begin{align}\varphi:\K[x,y]&\rightarrow\K[x]\\x&\rightarrow x\\y&\rightarrow x^2\end{align}$$ Es claro que $I(Y)\subset \ker(\varphi)$ y por tanto tenemos un mapa sobreyectivo $\varphi^*:A(Y)\rightarrow \K[x]$. Tomando, $$\begin{align}\psi:\K[x]&\rightarrow A(Y)\\x&\rightarrow [x]\end{align}$$ observamos que se cumple $$\begin{align} \psi\circ\varphi^*([x])&=\psi(\varphi(x))=\psi(x)=[x]\\ \psi\circ\varphi^*([y])&=\psi(\varphi(y))=\psi(x^2)=[x^2]=[y] \end{align}$$ y concluimos que $\varphi^*$ es un isomorfismo.