Geom Alg - P1 - Pregunta 2

\( \newcommand{\sst}{\subset} \newcommand{\Rm}{\mathbb{R}^m} \newcommand{\Rn}{\mathbb{R}^n} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\P}{\mathbb{P}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\A}{\mathbb{A}} \newcommand{\epsi}{\varepsilon} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \)

Sea \(Y\) la curva plana \(y=x^2\). Probar que \(A(Y)\) es isomorfo al anillo de polinomios de una variable sobre el cuerpo \(\K\).

Solución: Tenemos que \(A(Y)=\K[x,y]/I(Y)\), donde \(I(Y)=(y-x^2)\). Consideramos el siguiente morfismo de anillos, \[\begin{align}\varphi:\K[x,y]&\rightarrow\K[x]\\x&\rightarrow x\\y&\rightarrow x^2\end{align}\] Es claro que \(I(Y)\subset \ker(\varphi)\) y por tanto tenemos un mapa sobreyectivo \(\varphi^*:A(Y)\rightarrow \K[x]\). Tomando, \[\begin{align}\psi:\K[x]&\rightarrow A(Y)\\x&\rightarrow [x]\end{align}\] observamos que se cumple \[ \begin{align} \psi\circ\varphi^*([x])&=\psi(\varphi(x))=\psi(x)=[x]\\ \psi\circ\varphi^*([y])&=\psi(\varphi(y))=\psi(x^2)=[x^2]=[y] \end{align} \] y concluimos que \(\varphi^*\) es un isomorfismo.