Geom Alg - P1- Pregunta 5

$\newcommand{\sst}{\subset} \newcommand{\Rm}{\mathbb{R}^m} \newcommand{\Rn}{\mathbb{R}^n} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\P}{\mathbb{P}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\A}{\mathbb{A}} \newcommand{\epsi}{\varepsilon} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\ra}{\rightarrow} \DeclareMathOperator{\id}{id}$

Sea $Y=\{(t,t^2,t^3)|t\in \K\}$. Probar que $Y$ es una variedad algebraica afín de dimensión 1. Hallar $I(Y)$. Deducir que $A(Y)$ es isomorfo al anillo de polinomios de una variable sobre $\K$.

Solución: Primero notemos que $$Y=V(x^2-y)\cap V(x^3-z)=V((x^2-y)+(x^3-z))$$ y por tanto $I(Y)=\sqrt{(x^2-y)+(x^3-z)}$. Para verificar que $Y$ tiene dimensión 1, consideramos $\{p\}\subsetneq Y' \subsetneq Y$ con $Y'$ irreducible. Para esto $Y'=V(f(x,y,z))$, pero por la forma de $Y$ tenemos que $Y'=V(f(x,x^2,x^3))$ y por lo tanto es finito. Como $Y'$ es irreducible entonces $Y'=\{p\}$, lo cual es una contradicción.
Respecto al isomorfismo, consideramos $$\begin{align} \varphi: A(Y)&\ra \K[x]\\ [x]&\mapsto x\\ [y]&\mapsto x^2\\ [z]&\mapsto x^3 \end{align}$$ El cual está bien definido ya que $\varphi([x^2-y])=\varphi([x^3-z])=0$ y $\K[x]$ es un dominio. Tenemos que $\varphi$ es claramente sobreyectivo, y si consideramos $\psi:\K[x]\ra A(Y), x\mapsto [x]$ se tiene que $$\begin{align} \psi(\varphi([x]))&=\psi(x)=[x]\\ \psi(\varphi([y]))&=\psi(x^2)=[x^2]=[y]\\ \psi(\varphi([z]))&=\psi(x^3)=[x^3]=[z] \end{align}$$ Podemos concluir que $\varphi$ es un isomorfismo.