Geom Alg - P1- Pregunta 5

\( \newcommand{\sst}{\subset} \newcommand{\Rm}{\mathbb{R}^m} \newcommand{\Rn}{\mathbb{R}^n} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\P}{\mathbb{P}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\A}{\mathbb{A}} \newcommand{\epsi}{\varepsilon} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\ra}{\rightarrow} \DeclareMathOperator{\id}{id} \)

Sea \(Y=\{(t,t^2,t^3)|t\in \K\}\). Probar que \(Y\) es una variedad algebraica afín de dimensión 1. Hallar \(I(Y)\). Deducir que \(A(Y)\) es isomorfo al anillo de polinomios de una variable sobre \(\K\).

Solución: Primero notemos que \[Y=V(x^2-y)\cap V(x^3-z)=V((x^2-y)+(x^3-z))\] y por tanto \(I(Y)=\sqrt{(x^2-y)+(x^3-z)}\). Para verificar que \(Y\) tiene dimensión 1, consideramos \(\{p\}\subsetneq Y' \subsetneq Y\) con \(Y' \) irreducible. Para esto \(Y'=V(f(x,y,z))\), pero por la forma de \(Y\) tenemos que \(Y'=V(f(x,x^2,x^3))\) y por lo tanto es finito. Como \(Y'\) es irreducible entonces \(Y'=\{p\}\), lo cual es una contradicción.
Respecto al isomorfismo, consideramos \[ \begin{align} \varphi: A(Y)&\ra \K[x]\\ [x]&\mapsto x\\ [y]&\mapsto x^2\\ [z]&\mapsto x^3 \end{align} \] El cual está bien definido ya que \(\varphi([x^2-y])=\varphi([x^3-z])=0\) y \(\K[x]\) es un dominio. Tenemos que \(\varphi\) es claramente sobreyectivo, y si consideramos \(\psi:\K[x]\ra A(Y), x\mapsto [x]\) se tiene que \[ \begin{align} \psi(\varphi([x]))&=\psi(x)=[x]\\ \psi(\varphi([y]))&=\psi(x^2)=[x^2]=[y]\\ \psi(\varphi([z]))&=\psi(x^3)=[x^3]=[z] \end{align} \] Podemos concluir que \(\varphi\) es un isomorfismo.