Geom Alg - P1 - Pregunta 4

$\newcommand{\sst}{\subset} \newcommand{\Rm}{\mathbb{R}^m} \newcommand{\Rn}{\mathbb{R}^n} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\P}{\mathbb{P}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\A}{\mathbb{A}} \newcommand{\epsi}{\varepsilon} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\ra}{\rightarrow} \DeclareMathOperator{\id}{id}$

Sea $f$ un polinomio cuadrático irreducible en $\K[x,y]$. Sea $W$ la conica definida por $f$. Probar que $A(W)$ es isomorfo al anillo $A(Y)$ o $A(Z)$. Cuando ocurre cada caso?

Solución: Tenemos que $f(x,y)=ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+r$ defina una cónica no-degenerada (por ser irreducible). Podemos utilizar un cambio de variable para llevar $f$ a su forma canónica, $f'(x',y')=a'x'^2+c'y^2+d'x+e'y+r'$. Luego si $a'=0$ o $c'=0$ entonces, mediante otro cambio de variable podemos obtener $$f''(x'',y'')=a''x''^2+c''y+r''$$ y utilizando un morfismo similar al de la pregunta 2 podemos observar que para este caso $A(W)\simeq \K[x]\simeq A(Y)$.
Por otro lado, en caso $a'\neq 0$ y $c'\neq 0$, entonces utilizando un cambio de variable más podemos obtener $f''(x'',y'')=a''x''^2+c''y''^2+r''$. Tomando $s^2=a$, $t^2=-b$ y $v^2=-r''$, tenemos que $f''(x'',y'')=(sx-ty)(sx+ty)-v^2$. Consideramos los morfismos $$\begin{align} \varphi: A(Z)&\ra A(W) \\ [x]&\ra v^{-1}[sx+ty]\\ [y]&\ra v^{-1}[sx-ty]\\ \psi: A(W)&\ra A(Z) \\ [x]&\ra \frac{v}{2s}[x+y]\\ [y]&\ra \frac{v}{2t}[x-y]\\ \end{align}$$ los cuales están bien definidos y además $\varphi\circ \psi = \id$, $\psi\circ \varphi = \id$. Por lo que concluimos $A(W)\simeq A(Z)$.
En resumen, cuando $f$ es parabólico tenemos que $A(W)\simeq A(Y)$ y caso contrario tenemos $A(W)\simeq A(Z)$.