Geom Alg - P1 - Pregunta 4

\( \newcommand{\sst}{\subset} \newcommand{\Rm}{\mathbb{R}^m} \newcommand{\Rn}{\mathbb{R}^n} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\P}{\mathbb{P}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\A}{\mathbb{A}} \newcommand{\epsi}{\varepsilon} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\ra}{\rightarrow} \DeclareMathOperator{\id}{id} \)

Sea \(f\) un polinomio cuadrático irreducible en \(\K[x,y]\). Sea \(W\) la conica definida por \(f\). Probar que \(A(W)\) es isomorfo al anillo \(A(Y)\) o \(A(Z)\). Cuando ocurre cada caso?

Solución: Tenemos que \(f(x,y)=ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+r\) defina una cónica no-degenerada (por ser irreducible). Podemos utilizar un cambio de variable para llevar \(f\) a su forma canónica, \(f'(x',y')=a'x'^2+c'y^2+d'x+e'y+r'\). Luego si \(a'=0\) o \(c'=0\) entonces, mediante otro cambio de variable podemos obtener \[f''(x'',y'')=a''x''^2+c''y+r''\] y utilizando un morfismo similar al de la pregunta 2 podemos observar que para este caso \(A(W)\simeq \K[x]\simeq A(Y)\).
Por otro lado, en caso \(a'\neq 0\) y \(c'\neq 0\), entonces utilizando un cambio de variable más podemos obtener \(f''(x'',y'')=a''x''^2+c''y''^2+r''\). Tomando \(s^2=a\), \(t^2=-b\) y \(v^2=-r''\), tenemos que \(f''(x'',y'')=(sx-ty)(sx+ty)-v^2\). Consideramos los morfismos \[ \begin{align} \varphi: A(Z)&\ra A(W) \\ [x]&\ra v^{-1}[sx+ty]\\ [y]&\ra v^{-1}[sx-ty]\\ \psi: A(W)&\ra A(Z) \\ [x]&\ra \frac{v}{2s}[x+y]\\ [y]&\ra \frac{v}{2t}[x-y]\\ \end{align} \] los cuales están bien definidos y además \(\varphi\circ \psi = \id \), \(\psi\circ \varphi = \id \). Por lo que concluimos \(A(W)\simeq A(Z)\).
En resumen, cuando \(f\) es parabólico tenemos que \(A(W)\simeq A(Y)\) y caso contrario tenemos \(A(W)\simeq A(Z)\).