Geom Alg - P1 - Pregunta 3

$\newcommand{\sst}{\subset} \newcommand{\Rm}{\mathbb{R}^m} \newcommand{\Rn}{\mathbb{R}^n} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\P}{\mathbb{P}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\A}{\mathbb{A}} \newcommand{\epsi}{\varepsilon} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\ra}{\rightarrow}$

Sea $Z$ la curva plana $xy=1$. Probar que $A(Z)$ no es isomorfo al anillo de polinomios de una sola variable sobre $\K$.

Solución: Supongamos que existe un isomorfismo $\varphi:A(Z)\ra \K[x]$. Ahora, como $\varphi([x])\varphi([y])=\varphi([1])=1$ tenemos que $\varphi([x])$ y $\varphi([y])$ son inversibles en $\K[x]$. Esto quiere decir que $\varphi([x]),\varphi([y])\in \K\subset\K[x]$. Finalmente, ya que $[x],[y]$ generan $A(Z)$, tenemos una contradicción con la sobreyectividad de $\varphi$.