Geom Alg - P1 - Pregunta 3

\( \newcommand{\sst}{\subset} \newcommand{\Rm}{\mathbb{R}^m} \newcommand{\Rn}{\mathbb{R}^n} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\P}{\mathbb{P}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\A}{\mathbb{A}} \newcommand{\epsi}{\varepsilon} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\ra}{\rightarrow} \)

Sea \(Z\) la curva plana \(xy=1\). Probar que \(A(Z)\) no es isomorfo al anillo de polinomios de una sola variable sobre \(\K\).

Solución: Supongamos que existe un isomorfismo \(\varphi:A(Z)\ra \K[x]\). Ahora, como \(\varphi([x])\varphi([y])=\varphi([1])=1\) tenemos que \(\varphi([x])\) y \(\varphi([y])\) son inversibles en \(\K[x]\). Esto quiere decir que \(\varphi([x]),\varphi([y])\in \K\subset\K[x]\). Finalmente, ya que \([x],[y]\) generan \(A(Z)\), tenemos una contradicción con la sobreyectividad de \(\varphi\).