Geom Alg - P1 - Pregunta 6

$\newcommand{\sst}{\subset} \newcommand{\Rm}{\mathbb{R}^m} \newcommand{\Rn}{\mathbb{R}^n} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\P}{\mathbb{P}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\A}{\mathbb{A}} \newcommand{\epsi}{\varepsilon} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\ra}{\rightarrow} \DeclareMathOperator{\id}{id}$

Sea $Y$ una variedad afín de dimensión $r$ en $\A^n$. Sea $H$ una hiperficie de $\A^n$ tal que $H$ no contiene a $Y$. Probar que cada componente irreducible de $Y\cap H$ tiene dimensión $r-1$

Geom Alg - P1- Pregunta 5

$\newcommand{\sst}{\subset} \newcommand{\Rm}{\mathbb{R}^m} \newcommand{\Rn}{\mathbb{R}^n} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\P}{\mathbb{P}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\A}{\mathbb{A}} \newcommand{\epsi}{\varepsilon} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\ra}{\rightarrow} \DeclareMathOperator{\id}{id}$

Sea $Y=\{(t,t^2,t^3)|t\in \K\}$. Probar que $Y$ es una variedad algebraica afín de dimensión 1. Hallar $I(Y)$. Deducir que $A(Y)$ es isomorfo al anillo de polinomios de una variable sobre $\K$.

Geom Alg - P1 - Pregunta 4

$\newcommand{\sst}{\subset} \newcommand{\Rm}{\mathbb{R}^m} \newcommand{\Rn}{\mathbb{R}^n} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\P}{\mathbb{P}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\A}{\mathbb{A}} \newcommand{\epsi}{\varepsilon} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\ra}{\rightarrow} \DeclareMathOperator{\id}{id}$

Sea $f$ un polinomio cuadrático irreducible en $\K[x,y]$. Sea $W$ la conica definida por $f$. Probar que $A(W)$ es isomorfo al anillo $A(Y)$ o $A(Z)$. Cuando ocurre cada caso?

Geom Alg - P1 - Pregunta 3

$\newcommand{\sst}{\subset} \newcommand{\Rm}{\mathbb{R}^m} \newcommand{\Rn}{\mathbb{R}^n} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\P}{\mathbb{P}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\A}{\mathbb{A}} \newcommand{\epsi}{\varepsilon} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\ra}{\rightarrow}$

Sea $Z$ la curva plana $xy=1$. Probar que $A(Z)$ no es isomorfo al anillo de polinomios de una sola variable sobre $\K$.

Geom Alg - P1 - Pregunta 2

$\newcommand{\sst}{\subset} \newcommand{\Rm}{\mathbb{R}^m} \newcommand{\Rn}{\mathbb{R}^n} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\P}{\mathbb{P}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\A}{\mathbb{A}} \newcommand{\epsi}{\varepsilon} \newcommand{\N}{\mathbb{N}}$

Sea $Y$ la curva plana $y=x^2$. Probar que $A(Y)$ es isomorfo al anillo de polinomios de una variable sobre el cuerpo $\K$.

Pregunta 10

$\newcommand{\sst}{\subset} \newcommand{\Rm}{\mathbb{R}^m} \newcommand{\Rn}{\mathbb{R}^n} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\diam}[1]{\text{diam}(#1)} \newcommand{\epsi}{\varepsilon} \newcommand{\N}{\mathbb{N}}$

Sea $K\sst \Rm$ compacto, $U\sst \Rn$ abierto y $f:K\rightarrow U$ continua. Demostrar que existe $\delta>0$ tal que la imagen $f(T)$ de cualquier $T\sst K$ con $\diam{T} < \delta$ está contenida en alguna bola $B\sst U$.